Liikkuvan kohdeen tietokonetomografian ajallis-paikalliset säännöllistämismenetelmät

Kasveja, robotteja ja röntgensäteiden matematiikkaa

Tietokonetomografia (TT) eli viipalekuvaus on monille meistä tuttu lähinnä sairaalasarjoista, koko huoneen täyttävänä donitsinmuotoisena laitteena, jolla voidaan tutkia potilaan sisuksia päästä varpaisiin. Lääketieteen lisäksi TT-kuvantaminen on tärkeä työkalu mm. monissa laboratorioissa, museoissa, tuotekehityksessä ja lentokenttien turvatarkastuksissa. Laitteen eri suunnista keräämät röntgenkuvat eivät kuitenkaan yksinään riitä, vaan tuntemattoman sisärakenteen selvittäminen vaatii myös matemattista algoritmia.

Viipalekuvauksessa ideana on määritellä mitä kappaleen sisällä on oltava, jotta lukuisat (mielellään äärettömän monet) ulkoiset mittaukset voisivat olla mahdollisia. Tällaista epäsuoraa lähestymistapaa voidaan käyttää ja analysoida käänteisten ongelmien menetelmillä. Väitöskirjassani tutkin ja kehitin matemaattisia menetelmiä, joilla liikkuvasta kohteesta tehtyjen mittausten avulla olisi mahdollista määritellä sekä rakenne, että ajan myötä tapahtuvat muutokset entistä paremmin.

Säännöllistämisen rakennuspalikat

Tyypillinen lähestystapa erilaisten käänteisten ongelmien ratkaisuun on muodostaa säännöllistetty ongelma, jossa rajallisten (ja virheellisten) mittauksien vastapainoksi asetetaan sopiva säännöllistämisfunktio, jolla kompensoidaan puuttuvaa tai virheellistä informaatiota ja rajataan potentiaalisten ratkaisujen joukkoa pienemmäksi ja järkevämmäksi.

Väitöskirjassani keskityin lähinnä geometristen monen mittakaavan esitysjärjestelmien, kuten erilaisten aallokkeiden, teoriaan ja numeerisiin algoritmeihin. Niitä on tyypillisesti käytetty esimerkiksi signaalinkäsittelyssä moniulotteisten signaalien (esim. kuvien ja videoiden) pakkaamiseen. Dynaamisessa tietokonetomografiassa potentiaalinen ratkaisu (kuva- tai volyymisarja eli eräänlainen animaatio) esitetään näiden erikokoisten "rakennuspalikoiden" avulla. Jos palikat sopivat hyvin tomografiaanimaation rakenteiden esittämiseen, mutta huonosti vaikkapa virheiden ja kohinan esittämiseen, lopullisen minimiongelman ratkaisunkin pitäisi sisältää enemmän näitä rakenteita ja vähemmän kohinaa ja virheitä.

Ravinteiden seurantaa

Tutkimusprojekti sai alkunsa biologian ja ilmakehätieteen tutkimuksesta, jossa haluttiin seurata ravinteiden kertymistä ja kulkeutumista kasveissa röntgentomografian avulla. Useiden peräkkäisten mittauksien vuoksi kasvien saamaa säteilyannosta piti pienentää merkittävästi, mikä heikensi mittauksien laatua ja lukumäärää ja lopulta perinteiset rekonstruktiomenetelmät eivät enää toimineet, vaan piti kehittää kokonaan uusi.

Tutkimuksen myötä kehitimme uusia esitysjärjestelmiä erityisesti ajan myötä muuttuvien rakenteiden mallintamiseen kolmessa (viipalekuvia + aika) ja neljässä (kolmiulotteisia volyymejä + aika) ulottuvuudessa. Menetelmien testaamiseen tarvittiin simulaatioiden lisäksi myös oikeita tomografiamittauksia liikkuvista kohteista. Väitöskirjaprojektin lopulla rakensin itse tietokoneohjatun mekaanisen laitteen tai yksinkertaisen robotin, jonka avulla on mahdollista suorittaa monipuolisia ja kontrolloituja liikkuvan kohteen mittauksia tavallisella TT-skannerilla. Laite ja sillä otetut mittaukset ovat herättäneet paljon kiinnostusta ja ovat itselleni yksi väitöskirjan kohokohdista. Niissä yhdistyy monet omat kiinnostuksenkohteeni, kuten rakentelu ja ongelmanratkaisu, mutta niillä on myös merkitystä tutkimuksessa ja matemaattisten teorioiden käytännön todentamisessa.